แหล่งเรียนรู้ที่ 2 ระบบเลขฐานและตรรกศาสตร์

ระบบเลขฐาน

ระบบเลขฐาน 2

เลขฐานสอง (อังกฤษ: binary numeral system) หมายถึง ระบบเลขที่มีสัญลักษณ์เพียงสองตัวคือ 0 (ศูนย์) กับ 1 (หนึ่ง) บางครั้งอาจหมายถึงการที่มีโอกาสเลือกได้เพียง 2 ทาง เช่น ปิดกับเปิด, ไม่ใช่กับใช่, เท็จกับจริง, ซ้ายกับขวา เป็นต้น

ถ้าแปลงค่าเลขฐานสิบ มาเป็นเลขฐานสอง จะได้ดังนี้

• 1 = 1
• 2 = 10
• 3 = 11
• 4 = 100
• 5 = 101
• 6 = 110
• 7 = 111
• 8 = 1000
• 9 = 1001
• 10 = 1010

ในปัจจุบันเลขฐานสองเป็นพื้นฐานในการทำงานของคอมพิวเตอร์ โดยนำเอาหลักการของเลขฐานสอง (สถานะไม่มีไฟฟ้า และ สถานะมีไฟฟ้า) มาใช้ในการสร้างไมโครโปรเซสเซอร์ที่มีหน่วยประมวลผลแบบ 32 หรือ 64 บิต หรือมากกว่านั้น ซึ่งสามารถเรียกได้ว่าเป็นการประมวลผลแบบดิจิทัล

การแปลงเลขฐาน  2  >>เพิ่มเติม<<

1.  การแปลงเลขฐาน 2  เป็นฐาน  10

วิธีการแปลงเลขฐาน

          – ใช้วิธีการคูณด้วยค่าประจำหลักของฐาน 2

          – เริ่มจากน้อยที่สุดคือ  0  และเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ  (เริ่มจากขวาไปซ้าย  โดยเริ่มจาก  0 ,  1 ,  2  และเพิ่มขึ้นครั้งละ  1)

           (¨ x 2^n-1 ) +…+(¨ x 2² ) + (¨ x 2¹  ) + (¨ x 2⁰ )

ตัวอย่าง

1. แปลง 11₂        เป็นเลขฐาน  10

วิธีทำ             11₂          =             (1x2¹)+ (1x2⁰)          =             2  +  1                     =             3₁₀

 2. แปลง 110₂     เป็นเลขฐาน  10

วิธีทำ             110₂        =             (1x2²)+ (1x2¹)+ (0x2⁰)     =             4  +  2  +  0            =             6₁₀

 3. แปลง 1101₂  เป็นเลขฐาน  10

วิธีทำ             1101₂     =             (1x2³)+ (1x2²)+ (0x2¹)+ (1x2⁰)       =             8  +  4  +  0  +  1                   =             13₁₀

 2.  การแปลงเลขฐาน 10  เป็นฐาน  2

วิธีการแปลงเลขฐาน

          – ใช้วิธีหารสั้นด้วยเลข  2

          – นำเศษที่ได้มาเขียนลำดับจากล่างขึ้นบน

ตัวอย่าง

1. แปลง 8₁₀    เป็นเลขฐาน  2

วิธีทำ             8₁₀           =             2  )    8                    เศษ  0

     2  )    4                    เศษ  0

     2  )    2                    เศษ  0

              1

นำเศษที่ได้เขียนมาเขียนลำดับจากล่างขึ้นบน         จะได้             8₁₀           =             1000₂

2. แปลง 12₁₀    เป็นเลขฐาน  2

วิธีทำ             12₁₀        =             2  )    12                 เศษ  0

    2  )    6                    เศษ  0

    2  )    3                    เศษ  1

     1

นำเศษที่ได้เขียนมาเขียนลำดับจากล่างขึ้นบน        จะได้             12₁₀        =             1100₂

3. แปลง  20₁₀    เป็นเลขฐาน  2

วิธีทำ             20₁₀        =             2  )    20                 เศษ  0

     2  )    10                 เศษ  0

     2  )    5                    เศษ  1

     2  )    2                    เศษ  0

       1

นำเศษที่ได้เขียนมาเขียนลำดับจากล่างขึ้นบน        จะได้             20₁₀        =             10100₂

ระบบเลขฐาน 8

เลขฐานแปด หรือ อัฐนิยม (อังกฤษ: Octal) หมายถึง ระบบตัวเลขที่มีตัวเลขแปดตัว คือ 0 – 7 เลขฐานแปดนี้สร้างขึ้นจากเลขฐานสอง โดย การจัดกลุ่มเลขฐานสองออกเป็นกลุ่มละสามตัว (เริ่มจากขวา) ตัวอย่างเช่น เลขฐานสองที่แทนเลข 74 ในฐานสิบ คือ 1001010 เมื่อจัดเป็นกลุ่มละสาม จากขวาไปซ้าย ก็จะได้ 1 001 010 — เลขฐานแปดก็คือ 112 (1 ฐานสองตัวแรก เท่ากับ 1 ฐานแปด, 001 ฐานสอง เท่ากับ 1 ฐานแปด และ 010 ฐานสอง เท่ากับ 2 ฐานแปด)

บางครั้งมีการใช้เลขฐานแปด ในการคำนวณและการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์แทนที่การใช้เลขฐานสิบหก

การแปลงเลขฐาน  8  >>เพิ่มเติม<<

1.  การแปลงเลขฐาน 8  เป็นฐาน  10

วิธีการแปลงเลขฐาน

          – ใช้วิธีการคูณด้วยค่าประจำหลักของฐาน 8

          – เริ่มจากน้อยที่สุดคือ  0  และเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ  (เริ่มจากขวาไปซ้าย  โดยเริ่มจาก  0 ,  1 ,   2  และเพิ่มขึ้นครั้งละ  1)

           (¨ x 8^n-1 ) +…+(¨ x 8²) + (¨ x 8¹  ) + (¨ x 8⁰)

ตัวอย่าง

1. แปลง 11₈        เป็นเลขฐาน  10

วิธีทำ             11₈          =             (1x8¹)+ (1x8⁰)

=             8  +  1                     =             9₁₀

2. แปลง 27₈        เป็นเลขฐาน  10

วิธีทำ             27₈          =             (2x8¹)+ (7x8⁰)

=             16  +  7                  =             23₁₀

3. แปลง 154₈     เป็นเลขฐาน  10

วิธีทำ             154₈        =             (1x8²)+ (5x8¹)+ (4x8⁰)

=             64  +  40  +  4                       =             108₁₀

แบบฝึกหัด  :

1.1  23₈

1.2  34₈

1.3  46₈

1.4  57₈

1.5  100₈ 

2.  การแปลงเลขฐาน 10  เป็นฐาน  8

วิธีการแปลงเลขฐาน

          – ใช้วิธีหารสั้นด้วยเลข  8

          – นำเศษที่ได้มาเขียนลำดับจากล่างขึ้นบน

ตัวอย่าง

1. แปลง 8₁₀    เป็นเลขฐาน  8

วิธีทำ             8₁₀           =             8  )    8                    เศษ  0

1

นำเศษที่ได้เขียนมาเขียนลำดับจากล่างขึ้นบนจะได้             8₁₀           =             10₈

2. แปลง 12₁₀  เป็นเลขฐาน  8

วิธีทำ             12₁₀        =             8  )    12                 เศษ  4

 1

นำเศษที่ได้เขียนมาเขียนลำดับจากล่างขึ้นบนจะได้             12₁₀        =             14₈

3. แปลง 20₁₀  เป็นเลขฐาน  8

วิธีทำ             20₁₀        =             8  )    20                 เศษ  4

 2

นำเศษที่ได้เขียนมาเขียนลำดับจากล่างขึ้นบนจะได้             20₁₀        =             24₈

แบบฝึกหัด  :  

2.1  30₁₀

2.2  49₁₀

2.3  55₁₀

2.4  72₁₀

2.5  108₁₀

ระบบเลขฐาน10 (Decimal Number System)

    ระบบเลขฐานสิบ เป็นระบบเลขที่ใช้กันในชีวิตประจำวัน ไม่ว่าจะนำไปใช้คำนวณประเภทใด โดยจะมีสัญลักษณ์ที่ใช้แทนตัวเลขต่างๆ ของเลขฐานสิบ (Symbol) จำนวน 10 ตัว ตัวเลขหรือที่เรียกว่า Digit ที่ใช้แทนระบบเลขฐานสิบ ได้แก่ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

    ตัวเลขแต่ละตัวจะมีค่าประจำตัว โดยกำหนดให้ค่าที่น้อยที่สุด คือ 0 (ศูนย์) และเพิ่มค่าทีละหนึ่ง จนครบจำนวน 10 ตัว ดังนั้นค่ามากที่สุด คือ 9 การนำตัวเลขเหล่านี้ มารวมกลุ่มกัน ทำให้เกิดความหมายเป็น "ค่า" นั้น อาศัยวิธีการกำหนด "หลัก" ของตัวเลข (Position Notation) กล่าวคือ ค่าของตัวเลขจำนวนหนึ่ง พิจารณาได้จากสองสิ่งคือ

- ค่าประจำตัวของตัวเลขแต่ละตัว

- ค่าหลักในตำแหน่งที่ตัวเลขนั้นปรากฎอยู่

ในระบบที่ว่าด้วยตำแหน่งของตัวเลข ตำแหน่งที่อยู่ทางขวาสุด จะเป็นหลักที่มีค่าน้อยที่สุด เรียกว่า Least Sinificant Digit (LSD) และตัวเลขที่อยู่ในหลักซ้ายสุดจะมีค่ามากที่สุด เรียกว่า Most Sinificant Digit (MSD)

ตัวอย่าง

จำนวน 1,897
Most Sinificant Digit (MSD)			Least Sinificant Digit (LSD)
1	8	9	7

นิยาม ค่าหลักของตัวเลขใดๆ คือ ค่าของฐานยกกำลังด้วยค่าประจำตำแหน่งของแต่ละหลัก โดยกำหนดให้ค่าประจำตำแหน่งของหลักของ LSD มีค่าเป็น 0

ในระบบเลขฐานสิบ จะมีสัญลักษณ์อยู่ 10 อย่าง คือ 0 - 9 จำนวนขนาดของเลขฐานสิบ สามารถอธิบายได้ โดยใช้ตำแหน่งน้ำหนักของแต่ละหลัก (Postional Weight) โดยพิจารณาจากเลข ดังต่อไปนี้

ค่าตัวเลข 4,897 สามารถขยายได้ดังนี้

4,897

= 4000 + 800 + 90 + 7

= (4 x 10³) + (8 x 10²) + (9 x 10¹) + (7 x 10⁰)

จะเห็นว่าน้ำหนักตามตำแหน่ง ของตัวเลขต่างๆ สามารถขยายตามระบบจำนวนได้ และถูกแทนที่ด้วยสมการ ดังต่อไปนี้

N = d_nRⁿ + ... + d₃R³ + d₂R² + D₁R¹ + D₀R⁰

เมื่อ

N    คือ ค่าของจำนวนฐานสิบที่ต้องการ

d_n   คือ ตัวเลขที่อยู่ในตำแหน่งต่างๆ

R    คือ ฐานของจำนวนตัวเลขนั้นๆ

n    คือ ค่ายกกำลังของฐานตามตำแหน่งต่างๆ

เลขที่เป็นเศษส่วน หรือจำนวนผสมนั้น ก็สามารถจะเขียนในรูป Positional Notation ได้เช่นกัน โดยตัวเลขแต่ละหลักที่อยู่ในตำแหน่งหลังจุดทศนิยมนั้นกำลังของหลักจะมีค่า เป็นลบ โดนเริ่มจากลบ 1 เป็นต้นไป นับจากน้อยไปหามาก

ดังนั้นในระบบเลขฐานสิบ หลักแรกหลังจุดทศนิยมจะมีค่าเท่ากับ เลขจำนวนนั้นคูณด้วย 10^-1 ตัวที่สองจะเป็น 10^-2 ไปเรื่อยๆ เช่น

123.456 =1 x 10² + 2 x 10¹ + 3 x 10⁰+4 x 10^-1+5 x 10^-2+6 x 10^-3

กฎการแทนตัวเลขนั้น สามารถนำไปใช้กับระบบตัวเลขทั่วๆ ไปได้ โดยไม่คำนึงว่า เลขนั้นจะเป็นฐานอะไร

ระบบเลขฐาน 16

เลขฐานสิบหก (hexadecimal) หมายถึงระบบเลขฐานที่มีสัญลักษณ์ 16 ตัว (ฐานสิบมี 10 ตัวคือ 0-9) โดยปกติจะใช้สัญลักษรณ์ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F ในการแสดงหรือเขียนทั้ง 16 ตัว

	0hex	=	0dec	=	0oct		0	0	0	0
	1hex	=	1dec	=	1oct		0	0	0	1
	2hex	=	2dec	=	2oct		0	0	1	0
	3hex	=	3dec	=	3oct		0	0	1	1
	4hex	=	4dec	=	4oct		0	1	0	0
	5hex	=	5dec	=	5oct		0	1	0	1
	6hex	=	6dec	=	6oct		0	1	1	0
	7hex	=	7dec	=	7oct		0	1	1	1
	8hex	=	8dec	=	10oct		1	0	0	0
	9hex	=	9dec	=	11oct		1	0	0	1
	Ahex	=	10dec	=	12oct		1	0	1	0
	Bhex	=	11dec	=	13oct		1	0	1	1
	Chex	=	12dec	=	14oct		1	1	0	0
	Dhex	=	13dec	=	15oct		1	1	0	1
	Ehex	=	14dec	=	16oct		1	1	1	0
	Fhex	=	15dec	=	17oct		1	1	1	1

ฐานสิบ	ฐานสอง	ฐานสิบหก
30	11110	1E

การแสดงฐานตัวเลขต่างๆในตารางสุดท้ายนี้ จำนวน 30 คือจำนวนตัวเลขของเลขฐานสิบ (decimal)จะสามารถแปลงค่าเท่ากับจำนวน 11110 ของเลขฐานสอง (binary) หรือเท่ากับจำนวน 36 ของเลขฐานแปด (octal) หรือเท่ากับจำนวน 1E ของเลขฐานสิบหก (hexadecimal)

สามารถยกตัวอย่างเพิ่มเติม คือจะเห็นว่า จำนวน 31 ของเลขฐานสิบ (decimal)จะสามารถแปลงค่าเท่ากับจำนวน 11111 ของเลขฐานสอง (binary) หรือเท่ากับจำนวน 37 ของเลขฐานแปด (octal) หรือเท่ากับจำนวน 1F ของเลขฐานสิบหก (hexadecimal)ซึ่งสามารถแสดงได้ตามลำดับดังนี้

   31       11111     37        1F

ระบบเลขฐานสิบหก (hexadecimal)นี้จะเป็นที่นิยมใช้ในการเข้ารหัส (encode)คำสั่งควบคุมเครื่อง (control code ) ที่อยู่ในระบบเลขฐานสอง ( binary ) ที่มีจำนวนคำสั่งยาวมากๆ ยกตัวอย่างได้เช่นตามคำอธิบายข้างต้น ถ้า 11111 เป็นคำสั่งควบคุมเครื่องในรูปเลขฐานสอง(binary)คือ 11111 ผู้ควบคุมเครื่องอาจจะเข้ารหัส ( encode)คำสั่งควบคุมเครื่องไว้ในรหัสบาร์โค้ด(barcode)ในรูป 1F ถ้าใช้รหัสเลขฐานสิบหก (hexadecimal)ซึ่งบาร์โค้ด(barcode)นั้นเวลาพิมพ์ที่จะใช้ให้เครื่องอ่านคำ สั่งควบคุมเครื่อง จะใช้ความยาวของบาร์โค้ด(barcode) 2 ตัว เช่นการใช้ระบบเลขฐานสิบหก (hexadecimal)นี้ในการเข้ารหัส (encode)คำสั่งควบคุมเครื่อง (control code )สำหรับเครื่องจักรอัตโนมัติความเร็วสูง ( high speed Finishing system) เป็นต้น

การแปลงเลขฐาน 16  >>เพิ่มเติม<<

1.  การแปลงเลขฐาน 16  เป็นฐาน  10

วิธีการแปลงเลขฐาน

          – ใช้วิธีการคูณด้วยค่าประจำหลักของฐาน 16

          – เริ่มจากน้อยที่สุดคือ  0  และเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ   (เริ่มจากขวาไปซ้าย  โดยเริ่มจาก  0 ,  1 ,   2  และเพิ่มขึ้นครั้งละ  1)

(¨ x 16^n-1 ) +…+(¨ x 16²) + (¨ x 16¹  ) + (¨ x 16⁰ )

ตัวอย่าง

1. แปลง 1F₁₆      เป็นเลขฐาน  10

วิธีทำ             1F₁₆        =             (1x16¹)+ (15x16⁰)

=             16  +  15                                =             31₁₀

2. แปลง A2₁₆     เป็นเลขฐาน  10

วิธีทำ             A2₁₆        =             (10x16¹)+ (2x16⁰)

=             160  +  2                                =             162₁₀

3. แปลง 1E5₁₆    เป็นเลขฐาน  10

วิธีทำ             1E5₁₆      =             (1x16²)+ (14x16¹)+ (5x16⁰)

=             256  +  224  +  5                  =             485₁₀

แบบฝึกหัด  :

1.1  1B₁₆

1.2  2F₁₆

1.3  5D₁₆

1.4  CB₁₆

1.5  AE₁₆

2.  การแปลงเลขฐาน 10  เป็นฐาน  16

วิธีการแปลงเลขฐาน

          – ใช้วิธีหารสั้นด้วยเลข  16

          – นำเศษที่ได้มาเขียนลำดับจากล่างขึ้นบน

ตัวอย่าง

1. แปลง 8₁₀    เป็นเลขฐาน  16

วิธีทำ             8₁₀           =             16  )      8               เศษ  8

    0

นำเศษที่ได้เขียนมาเขียนลำดับจากล่างขึ้นบนจะได้             8₁₀           =             8₁₆

2. แปลง 12₁₀  เป็นเลขฐาน  16

วิธีทำ             12₁₀        =             16  )      12             เศษ  12  หรือ  C

    0

นำเศษที่ได้เขียนมาเขียนลำดับจากล่างขึ้นบนจะได้             12₁₀        =             C₁₆

3. แปลง 20₁₀  เป็นเลขฐาน  16

วิธีทำ             20₁₀        =             16  )      20             เศษ  4

    1

นำเศษที่ได้เขียนมาเขียนลำดับจากล่างขึ้นบนจะได้             20₁₀        =             14₁₆

แบบฝึกหัด  :

2.1  15₁₀

2.2  39₁₀

2.3  62₁₀

2.4  98₁₀

2.5  250₁₀

การแปลงเลขฐาน

http://www.youtube.com/watch?v=Ygi6jMkf0hg

 _สรุป

ระบบเลข เป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงจำนวนต่าง ๆ ระบบเลขแต่ละระบบมีจำนวนตัวเลขที่ใช้เหมือนกับชื่อของระบบตัวเลขนั้น และมีฐานของจำนวนเลขตามชื่อของมัน เช่น เลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสิบ เลขฐานสิบหก

• ระบบเลขฐานสอง เป็น เลขฐานที่ประกอบด้วยตัวเลข 2 ตัว คือ 0 และ 1 ซึ่งเลข 0 กับ 1 เป็นเลขที่นิยมใช้กับคอมพิวเตอร์ในการประมวลผลการทำงาน การเก็บข้อมูล หรือโปรแกรมที่เกี่ยวข้องกับสถานะทางไฟฟ้า

• ระบบเลขฐานแปด เป็นเลขฐานที่ประกอบด้วยเลข 8 ตัวคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, รวมแปดตัว

• ระบบเลขฐานสิบ เป็น เลขฐานที่ประกอบด้วยเลข 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ซึ่งเลขฐาน 10 เป็นเลขฐานที่มนุษย์ทั่วไปสามารถเข้าใจได้ง่ายมากที่สุด เพราะว่าเป็นตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวัน

• ระบบเลขฐานสิบหก เป็น เลขฐานที่ประกอบด้วยเลข 10 ตัวและตัวอักษร 6 ตัว คือตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, และตัวอักษรคือ A แทน 10, B แทน 11, C แทน 12, D แทน 13, E แทน 14, F แทน 15 ซึ่งรวมกันแล้วได้ 16 ตัว

 _{อ้างอิง myimmy.wordpress.com/system/}

 

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ความหมายของศัพท์ตรรกศาสตร์

คำว่า “ตรรกศาสตร์” ได้มาจากศัพท์ภาษาสันสฤตสองศัพท์ คือ ตรฺรก และศาสตฺร ตรรก หมายถึง การตรึกตรอง ความคิด ความนึกคิด และคำว่า ศาสตฺร หมายถึง วิชา ตำรา รวมกันเข้าเป็น “ตรรกศาสตร์” หมายถึง วิชาว่าด้วยความนึกคิดอย่างเป็นระบบ ปราชญ์ทั่วไปจึงมีความเห็นร่วมกันว่า ตรรกศาสตร์ คือ  วิชาว่าด้วย การใช้กฎเกณฑ์

การใช้เหตุผล

วิชาตรรกศาสตร์นั้นมีนักปราชญ์ทางตรรกศาสตร์ได้นิยามความหมายไว้มากมาย นักปราชญ์เหล่านั้นคือ

1.พจนานุกรมศัพท์ปรัชญาอังกฤษ – ไทย ฉบับราชบัณฑิตยสถาน นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์คือ ปรัชญาสาขาที่ว่าด้วยการวิเคราะห์และตัดสินความสมเหตุสมผลในการอ้างเหตุผล”

2.กีรติ บุญเจือ นิยามความหมายว่า “ตรรกวิทยา คือ วิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์การใช้เหตุผล”

3.”Wilfrid Hodges” นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์ คือ การศึกษาระบบข้อเท็จจริงให้ตรงกับความเชื่อ”

ประพจน์ (Proposition)

     ประพจน์ คือ ประโยคที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้น

ประโยคเหล่านี้อาจจะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้

     

ประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์

จังหวัดชลบุรีอยู่ทางภาคตะวันออกของไทย ( จริง )

5 × 2 = 2 + 5 ( เท็จ )

ตัวอย่างต่อไปนี้ไม่เป็นประพจน์

โธ่คุณ ( อุทาน )

กรุณาปิดประตูด้วยครับ ( ขอร้อง )

ท่านเรียนวิชาตรรกวิทยาเพื่ออะไร ( คำถาม )

     

ประโยคเปิด (Open sentence)

บทนิยาม ประโยคเปิดคือ ประโยคบอกเล่า ซึ่งประกอบด้วยตัวแปรหนึ่งหรือมากกว่าโดยไม่เป็นประพจน์ แต่จะเป็นประพจน์ได้เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกเอกภพสัมพัทธ์ตามที่กำหนดให้ นั่นคือเมื่อแทนตัวแปรแล้วจะสามารถบอกค่าความจริง

ประโยคเปิด เช่น

1.เขาเป็นนักบาสเกตบอลทีมชาติไทย

2. x + 5 =15

3. y < - 6

ประโยคที่ไม่ใช่ประโยคเปิด เช่น

1.10 เป็นคำตอบของสมการ X-1=7

2.โลกหมุนรอบตัวเอง

3.จงหาค่า X จากสมการ 2x+1=8

ตัวเชื่อม (connective)

1. ตัวเชื่อมประพจน์ ” และ ” ( conjunetion ) ใช้สัญลักษณ์แทน Ùและเขียนแทนด้วย P Ù Q แต่ละประพจน์มีค่าความจริง(truth value) ได้ 2 อย่างเท่านั้น คือ จริง(True) หรือ เท็จ(False) ถ้าทั้ง P และ Qเป็นจริงจะได้ว่า PÙQ เป็นจริง กรณีอื่นๆ P Ù Q เป็นเท็จ เราให้นิยามค่าความจริง P Ù Q

โดยตารางแสดงค่าความจริง (truth table) ดั้งนี้

P	Q	P Ù Q
T T F F	T F T F	T F F F

ตัวอย่าง 5+1 = 6 Ù 2 น้อยกว่า 3 (จริง)

5+1 = 6 Ù 2 มากกว่า 3 (เท็จ)

5+1 = 1 Ù 2 น้อยกว่า 3 (เท็จ)

5+1 = 1 Ù 2 มากกว่า 3 (เท็จ)

2. ตัวเชื่อมประพจน์ ” หรือ ” ( Disjunction ) ใช้สัญลักษณ์แทน V และเขียนแทนด้วย P V Q และเมื่อ P V Q

จะเป็นเท็จ ในกรณีที่ทั้ง P และ Q เป็นเท็จเท่านั้น กรณีอื่น P V Q เป็นจริง เรา

ให้นิยามค่าความจริงของ P V Q

ตัวอย่างตารางค่าความจริง ดังนี้

P	Q	P V Q
T T F F	T F T F	T T T F

ตัวอย่าง 5 + 1 = 6 V 2 น้อยกว่า 3 (จริง)

              5 + 1 = 6 V 2 มากกว่า 3 (จริง)
              5 + 1 = 1V 2 น้อยกว่า 3 (จริง) 
              5 + 1 = 1V 2 มากกว่า 3 (เท็จ)

3. ตัวเชื่อมประพจน์ “ ถ้า….แล้ว” Conditional) ใช้สัญลักษณ์แทน ® และเขียนแทนด้วย P®Q

นิยามค่าความจริงของ P®Q โดยแสดงตารางค่าความจริงดังนี้

P	Q	P®Q
T T F F	T F T F	T F T T

ตัวอย่าง 1 < 2 ® 2 < 3 (จริง) 1 < 2 ® 3 < 2 (เท็จ) 2 < 1 ® 2 < 3 (จริง)
2 < 1 ® 3 < 2 (จริง)

4. ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” (Biconditional) ใช้สัญลักษณ์แทน « และเขียนแทนด้วย P«Q

นั้นคือ P«Q จะเป็นจริงก็ต่อเมือ ทั้ง P และ Q เป็นจริงพร้อมกันหรือทั้ง P และ Q เป็นเท็จพร้อมกันตารางแสดงค่าความจริงของ P«Q

P	Q	P«Q
T T F F	T F T F	T F F T

ตัวอย่าง 1 < 2 « 2 < 3 (จริง)
1 < 2 « 3 < 2 (เท็จ)
2 < 1 « 2 < 3 (จริง)
2 < 1 « 3 < 2 (เท็จ)

5. นิเสธ (Negation) ใช้สัญลักษณ์แทน ~ เขียนแทนนิเสธของ P ด้วย ~P ถ้า P เป็นประพจน์นิเสธของประพจน์ P คือประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงข้ามกัน P

ตารางแสดงค่าความจริงดั้งนี้

P	~P
T F	F T

ตัวอย่าง ถ้า p แทนประโยคว่า "วันนี้เป็นวัน เสาร์" นิเสธของ p หรือ ~p คือประโยคที่ว่า "วันนี้ไม่เป็นวันเสาร์"

สัจนิรันดร์ (Tautology) และความขัดแย้ง (Contradiction)

1. สัจนิรันดร์ (Tautology) คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าความจริงของ ตัวแปรของแต่ละประพจน์ที่มีรูปแบบเป็นสัจนิรันดร์ เรียกว่า ประพจน์สัจนิรันดร์ (Tautology statement)ตัวอย่างที่ 1 P® PvQเป็นสัจนิรันดร์ เราสามารถพิสูจน์ได้หลายวิธี

P	Q	P v Q	P® PvQ
T         T         F         F	T T T F	T T T F	T T T T

จากตารางแสดงค่าความจริงไม่ว่า P และ Q จะเป็นจริงหรือเท็จก็ตาม ประพจน์ P® PvQ เป็นจริงเสมอ ดังนั้นประพจน์นี้เป็น สัจนิรันดร์
2.ความขัดแย้ง (Contradiction) คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าความจริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ย่อยประพจน์ที่มีรูปแบบ เป็นความขัดแย้ง เรียกว่า ประพจน์ความขัดแย้ง (Contradicithon statement)

ตัวอย่าง P ^ ~P เป็น ความขัดแย้ง ตารางแสดงค่าความจริง 

p	~P	P ^ ~P
T F	F T	F F

     












P ^ ~P มีค่าเป็นเท็จ สำหรับทุกๆ ค่าความจริงของ P
ดังนั้น P ^ ~P จึงเป็นความขัดแย้ง (Contradicithon )

ทฤษฎีตรรกสมมูล (Logical Equivalences)

ความรู้ประพจน์ตรรกะสมมูล (Logical equivalent statement)มีประโยชน์มาก

สำหรับการหาข้อโต้แย้งและข้อสรุปในทางคณิตศาสตร์ ซึ่งในทางปฏิบัติแล้ว

การสรุปเหตุผลในแต่ละรูปจะยุ่งยากมากหากไม่อาศัยทฤษฎี ตรรกะสมมูลใน

การกล่าวอ้าง ดังนั้นจึงสรุปทฤษฎีตรรกะสมมูลไว้สำหรับใช้อ้างอิงต่อไป
กำหนดให้ p , q , r แทนประพจน์ใดๆ t แทนสัจนิรันดร์ c แทนความขัดแย้ง

1. กฎการสลับที่ (Commutative laws)
p ^ q = q ^p , p ^ q = q v p 
2. กฎการเปลี่ยนหมู่ (Associative laws)
(p ^ q) ^r = p ^ (q ^ r) , (p ^ q) v r = p v (q ^ r)
3. กฎการแจกแจง (Distributive laws)
p ^ (q v r) = (p ^ q) v ( p ^ r) ,

p v (q ^ r) = (p v q) ^ ( p v r)

4. กฎเอกลักษณ์ (Identity laws)
p v t = t , p ^ t = p
5. กฎนิเสธ (Negative laws)
p v ~p = t , p ^ ~ p = c
6.กฎนิเสธซ้อนนิเสธ (Double negative laws)
~(~p) = p
7. กฎนิจพล (Idempotent laws)
p ^p = p , p = p
8. กฎของเดอมอเกน (demerger’s laws)
~(p ^q) = ~p v ~q , ~(p v q) = ~p v ~q
9. กฎการจำกัดขอบข่าย (Universal bound laws)
p v t = t , p ^ c = c
10. กฎการซึมซับ (Absorption laws)
p v (p ^ q) = p , p ^ (p v q) = p
11. นิเสธของ c และ t
~t = c , ~c=t

ตัวบ่งปริมาณ(Quantified statement)

ตัวบ่งปริมาณในตรรกศาสตร์ มี 2 ชนิด คือ
          
1) ตัวบ่งปริมาณ "ทั้งหมด" หมายถึงทุกสิ่งทุกอย่างที่ต้องการพิจารณาในการ

นำไปใช้อาจใช้คำอื่นที่มีความหมายเช่นเดียวกับ "ทั้งหมด" ได้ ได้แก่ "ทุก"  

"ทุก ๆ" "แต่ละ" "ใด ๆ" ฯลฯ เช่น คนทุกคนต้องตาย, คนทุก ๆ คนต้องตาย,

คนแต่ละคนต้องตาย, ใคร ๆ ก็ต้องตาย
         
2) ตัวบ่งปริมาณ "บาง" หมายถึงบางส่วนหรือบางสิ่งบางอย่างที่ต้องการ

พิจารณา ในการนำไปใช้อาจใช้คำอื่นที่มีความหมายเช่นเดียวกันได้ ได้แก่

"บางอย่าง" "มีอย่างน้อยหนึ่ง" เช่น สัตว์มีกระดูกสันหลังบางชนิดออกลูกเป็น

ไข่, มีสัตว์มีกระดูกสันหลังอย่างน้อยหนึ่งชนิดที่ออกลูกเป็นไข่

ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ
 
1.∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง
  2. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ
  3. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
  4.∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง

การให้เหตุผล (Reasoning)โดยทั่วไปกระบวนการให้เหตุผลมี 2 ลักษณะคือ1.การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการให้เหตุ โดยนำข้อความที่กำหนดให้ ซึ่ง ต้องยอมรับว่าเป็นจริง ทั้งหมด เรียกว่า เหตุ และข้อความจริงใหม่ที่ได้เรียกว่า ผลสรุป ซึ่งถ้า พบว่าเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้ แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล แต่ถ้าพบว่าเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่าง เหตุ 1. คนทุกคนต้องหายใจ

2 . นายเด่นต้องหายใจ

ผลสรุป นายเด่นต้องหายใจ

จะเห็นว่า จากเหตุที่1 และเหตุที่ 2 บังคับให้เกิดผลสรุปดังนั้นการให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผลสมเหตุสมผล

2.การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็น การให้เหตุผลโดยอาศัยข้อสังเกตหรือผลการทดลองจากหลายๆตัวอย่าง  มาสรุปเป็นข้อตกลง หรือข้อคาดเดาทั่วไป หรือ คำพยากรณ์และจะต้องมีข้อสังเกต หรือ ผลการทดลอง หรือ มีประสบการณ์ที่มากพอที่จะปักใจเชื่อได้ แต่ก็ยังไม่สามารถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่เหมือนกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย เช่น เราเคยเห็นว่ามีปลาจำนวนมากที่ออกลูกเป็นไข่ เราจึงอนุมานว่า“ปลาทุกชนิดออกลูกเป็นไข่ ” ซึ่งกรณีนี้ถือว่าไม่สมเหตุสมผล ทั้งนี้เพราะข้องสังเกตหรือ ตัวอย่างที่พบว่ายังไม่มากพอที่จะสรุป เพราะโดยข้อเท็จจริงแล้วมีปลาบางชนิดที่ออกลูกเป็นตัว เช่น ปลาหางนกยูง เป็นต้น
ตัวอย่างความสมเหตุสมผลของการให้เหตุผลโดย

ตัวอย่างที่ 1 เหตุ 1 : คนทุกคนเป็นสิ่งที่มีสองขา

                        เหตุ 2 : ตำรวจทุกคนเป็นคน

ผลสรุป ตำรวจทุกคนเป็นสิ่งที่มีสองขา
จากเหตุ 1

จากเหตุ 2

แผนภาพรวม

จากแผนภาพจะเห็นว่า วงของ " ตำรวจ " อยู่ในวงของ " สิ่งมี 2 ขาแสดง " แสดงว่า " ตำรวจทุกคนเป็นคนมีสองขา " ซึ่งสอดคล้องกับผลสรุปที่กำหนดให้ ดังนั้น การให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผล

การใช้ความสัมพันธ์ระหว่างพจน์ ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผล

  
ตัวอย่างที่ 1 เหตุ จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง
                                                                            
                                  1เป็นจำนวนอตรรยะ                                                         

                               ผล   1เป็นจำนวนจริง

พจน์กลาง คือ จำนวนอตรรกยะ กระจายในข้อตั้งแรก ตรรกบทดังกล่าวจึงสมเหตุสมผล

  
ตัวอย่างที่ 2 เหตุ คนไทยทุกคนเป็นผู้ที่ยิ้มแย้มแจ่มใส
                                       ชาวปากเซเป็นคนยิ้มแย้มแจ่มใส
                                 ผล ชาวปากเซเป็นคนไทย
พจน์กลาง คือ คนยิ้มแย้มแจ่มใส เป็นพจน์ไม่กระจาย ตรรกบทดังกล่าวจึง

ไม่สมเหตุสมผล

สรุป    ตรรกศาสตร์ (อังกฤษ: logic - มีรากศัพท์จากภาษากรีกคือ λόγος, logos) เป็นการศึกษาเชิงปรัชญาว่าด้วยการให้เหตุผล โดยมักจะเป็นส่วนสำคัญของวิชาปรัชญา คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ รวมถึงภาษาศาสตร์ ตรรกศาสตร์เป็นการตรวจสอบข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผล (valid argument) หรือการให้เหตุผลแบบผิดๆ (fallacies) ตรรกศาสตร์ เป็นการศึกษาที่มีมานานโดยมนุษยชาติที่เจริญแล้ว เช่น กรีก จีน หรืออินเดีย และถูกยกขึ้นเป็นสาขาวิชาหนึ่งโดย อริสโตเติล

อ้างอิง http://logic-computer.blogspot.com/      

           http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C